数学 | Dotte博客

加、减、乘、除建立在1+1=2的定义之上（皮亚诺定理）

指数

对数

极限

设{x_n}为一无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，均有

不等式成立，那么就称常数a是数列{x_n} 的极限，或称数列{x_n} 收敛于a。记作

或

两个重要极限

1、

2、

或

（其中

是一个无理数，也就是自然对数的底数）

导数

设函数y=f(x)在点x₀的某个邻域内有定义，当自变量x在x₀处有增量Δx，(x₀+Δx)也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f(x₀+Δx)-f(x)；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f(x)在点x₀处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x₀处的导数记为f'(x₀)，也记作y’│_x=x0x0或

，即

导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度、加速度。

图片引自维基百科

一个实值函数的图像曲线。函数在一点的导数等于它的图像上这一点处之切线的斜率。

微分：

微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。

函数在一点的微分。其中红线部分是微分量 $\textrm{d}y$ ，而加上灰线部分后是实际的改变量 $\Delta y$

导数f'(x)是切线斜率，微分dy是切线升降量，是导数与自变量微元dx之乘积。
关系式dy/dx=f'(x)表示因变量微分dy与自变量微分dx之商等于导数，因此导数又称之为微商。

积分：

偏导数：

表示固定面上一点的切线斜率

梯度：

在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点的梯度指向在这点标量场增长最快的方向（当然要比较的话必须固定方向的长度），梯度的绝对值是长度为1的方向中函数最大的增加率，也就是说 $|\nabla f|=\max_{|v|=1} \{\nabla_v f\}$ ，其中 $\nabla_v$ 代表方向导数。以另一观点来看，由多变数的泰勒展开式可知，从欧几里得空间Rⁿ到R的函数的梯度是在Rⁿ某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅可比矩阵的一个特殊情况。

在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。

梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的内积来得到斜度。梯度的数值有时也被称为梯度。

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